Randvinkelsatsen beskriver förhållandet mellan ett medelpunktsvinkel och en randvinkel i en cirkel. Den säger att medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som randvinkeln.
Med denna sats kan oss beräkna vinklar och genomföra bevis. Vi börjar tillsammans med att definiera några term innan vi tittar närmre på satsen.
Randvinkeln i enstaka cirkel är en vinkeln mellan två kordor vilket träffar varandra i ett punkt som ligger vid cirkeln.
Medelpunktsvinkeln är vinkeln inom cirkelns medelpunkt mellan radierna till två punkter vid cirkelns periferi.
Utifrån dessa numeriskt värde begrepp kan vi idag definiera randvinkelsatsen som beskriver ett enkelt samband mellan dessa.
Randvinkelsatsen
$y=2x$=2
Medelpunktsvinkeln $y$ är dubbelt därför stor som randvinkeln $x$ på samma cirkelbåge.
Observera för att detta samband endas gäller för randvinklar och medelpunktsvinklar som utgår från identisk cirkelbåge.
Exempel 1
Bestäm vinkeln $y$.
Lösning
Randvinkelsatsen säger att $y$ är dubbelt således stor som $x$. Det ger a
Vinklar i cirkel
Här ska oss gå vidare med några geometriska satser för vinklar i cirklar, randvinkelsatsen samt några följdsatser till den.
Några begrepp
Vinkeln r inom figuren är en randvinkel (eller bågvinkel).
Randvinkeln r sägs stå på cirkelbågen AB.
Vinkeln m i figuren är en medelpunktsvinkel.
Medelpunktsvinkel m står också på cirkelbågen AB.
Randvinkelsatsen
Randvinkelsatsen säger att en randvinkel är hälften så stor liksom medelpunktsvinkeln på samma båge.
Bevis: Vi undersöker tre olika situationer.
1: Randvinkelns en ben är en diameter.
Vi ska visa att medelpunktsvinkeln u är dubbelt så stor som randvinkeln v. Båda vinklarna står på bågen AB.
Vinkeln u är en yttervinkel till triangeln MBC. Denna triangel är likbent